随机赛程的最佳策略

引言

5 j  W" P, ?. J8 q9 u& \在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
9 `! v8 O' Q' ?# B6 o2 {: R6 P0 Y
问题
2 {' {- P8 H5 T9 g4 C/ F" G. j

" \: s- r' M  ~! ~: I$ |有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
# ]  Z: y/ I+ @2 w6 y; O. Z9 L
1 y) [( }5 i/ L" }+ f8 F$ g+ Z当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

8 a" g  m/ p1 G' @. s5 X/ x本文
& ~, p: p* [* q  ^; W& z' g

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
. o( v% d0 i$ Q3 G* k) t9 l
) H, }8 |/ y. N: [' Q. ]" Z8 t7 _为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
5 {8 I- m6 C' v: j方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
3 }# A0 B1 z9 k" r  Q方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
6 D+ B( G4 t% ]. Y
8 @" e1 f' x# f2 k0 W++,
+-++,-+++,
+ Y6 k7 T4 N4 T0 i, B9 \0 I0 J2 ]+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
* ]) R" A; Z8 c. f  f% a0 y在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
0 E3 u. A0 k9 k1 C
6 h/ X0 V! N0 L* B1 Z4 X


" G$ a* [7 X# Y: v1 B5 ]0 Z$ _
4 F8 D- [, A  J1 I( v2 G


; s* `& ~8 d! @9 h' U1 o

, v, R, v/ G+ x0 Q- G8 k! U现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
3 o' d4 k# R& {: a* z
++,+-+,
( w' ^8 }! Y, `0 R4 {# P$ I-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
5 K' {! \. z( h6 }8 @
9 T2 L) D. K# j8 u5 `仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
1 }5 ~" S8 n: }" ~6 r6 J* p9 T' B

; b( X* O0 P( Q0 i+ a
- z/ n* w* P% A2 }7 q+ W


' W& J3 d4 |, M- r  M  J7 L

' Y( A8 ]" d" |9 `; Z7 N最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

) \5 B* p2 p* I6 ?# {" k1 ?( L现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
6 R) K5 P% [9 l8 I1 z! @+ w$ s
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

7 i3 h" W1 n4 }# [现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

# T# \4 n6 N& ~
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
) x% c" K4 Z' Q7 b
情况二：  
1 f9 _% t. i( ^- i# w此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
/ |5 ?* K+ o4 o
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
# x  r" O  N6 @+ w* i9 U
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

7 q/ r$ ?4 o$ \1 i9 G) c由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
! j+ V% p# [: b. J* p
* P/ Y( S( v: P" S) m6 x, I! z# r如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


" C( ?, \) h+ a6 U: R3 ]情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
; x  V# X! G' k$ {

  h* g. D4 }3 L) A  |4 I; r7 p
0 ]: G; ~0 ~/ s* N  U3 E+ u

( q7 A, \1 Y) H& Y0 `  ?
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
  E9 `$ E( `1 H, o令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
! \( |" h  Y- i$ x  Q* o7 O) I
' c( I7 y9 m; N# I/ l- V


  J$ C4 S7 X8 D
; _9 _* [" X8 j/ T2 @  ~4 d
+ J; v: P( b+ r! [这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
4 ~- p  `& D5 S. A: g& J利用p+q=1，上组方程式可改写为
7 i/ Q  n6 r: W2 J# O' p0 p
: a+ S9 O$ @2 W" S: |

3 J$ q; Z5 ~/ G
4 o+ B" S  u" k* x) Y8 p
' _# w# _1 ]: L
. |; y( ~" V: C$ J两边相加，并利用 、，得

: K" I: d" i8 m8 g, c( h

! ?$ f  P1 R: r- b


* B5 C: Y8 d, F3 j若取前 c 项相加，则得
1 W/ k( q5 A7 i1 N( s4 e


' W' S3 Y& M/ t6 Z
8 O% A/ q# Y- i

  T6 D* U% j2 S情况三：  
  @8 {! E* q& S仿二之解法，可求得
( E) R% O. k) E3 @7 n; I


$ v% J9 y7 L0 Z

* D! d; r  K: ]$ o3 c$ ~
( P$ h8 Q6 P  I3 B% N
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
* E, ^5 s1 Y, {5 n+ p& i" j

% t7 j1 K" ~: j定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
. Z) L& l/ Q; B4 L此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

1 o' L2 K3 _* I9 Z现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
9 O, v9 w  ], z- v
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
8 {$ M* k, g9 t/ @1 y: f4 P


2 i" z, k9 H' \) R6 H+ {2 |


5 ~' U& `! }8 k
7 i* {- ^+ f3 U$ m
; r; k3 J3 a5 S) q' C其中  为所下注之金额。利用


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( H$ p$ h, N. E, t2 D0 r7 _2 c, F
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( v8 V- {6 F$ d& `2 q


" O. d6 a( j7 _8 e! s& [. y1 i可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
$ d9 n: _" s- o+ Q$ _9 S& J




  ]/ g- W! k2 I


9 F- ?1 f) s9 e' D; }6 B因此可得在情况二， 时，
! b2 S. A& i6 h2 i$ f

7 I: c% u  c, u1 S: L8 G+ x9 x% V
, d* n: d! T2 ~% O' U



. o5 {4 n, C) Y
而在情况三， 时，
5 W, y9 y6 @5 N
$ g, V3 v; J+ p3 P5 H1 y
1 K2 j" ~$ D+ g. \% }5 ]$ F
5 F( A8 t. t( y1 p% X+ w
" C: `7 b3 y  s2 \: ~

9 L; N2 y7 T# [% q8 m3 n

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录


( O- {+ z0 O: Y! U* F! O6 i  Q在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为



/ G2 e3 [1 I4 ]2 J5 z2 v- |" |
( P- s" ~8 V9 j: l8 u5 o% G- H# r

! Y2 V) e* X; Z5 d' l$ Z. Q+ T
. i9 y$ h4 r5 C4 \; Y
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！