随机赛程的最佳策略

引言
! q' U  m) G; r5 L
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
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3 t, [; z$ ]5 ~1 ^9 W
7 Z- T' Z5 T. S7 g% f/ I4 H0 I有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
0 a3 H) q! W0 n3 M; }4 A" e
  s6 O4 j% w4 Z/ U/ z% g; m当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文


, J4 q2 t  H) x2 m3 Y: G2 @1 _- M问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
4 q$ P  q# X+ H: Q1 |" x' p. V
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
. ~( C$ k5 X) u你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

& N% D8 `- r1 X0 R" c4 v8 R0 H++,
+-++,-+++,
* ~' ~/ k+ J: I/ _3 y# y2 a7 [! x1 l+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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. A& `* ^3 E, E' Z9 C' s& W  E9 D






% N. R5 U, Q) q# j' x% K# i现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
5 Q. G4 ^! y4 k8 `( G- d
/ w" u% Q) i4 e; ]6 N, x& C7 _++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
( b3 k$ F. X' J0 s; h8 @-+-+++,-+-++-+,
- {$ h& _$ t0 O% N, w4 t" z* h6 L                                 
$ Y" C7 ?- j% b( i, ,
                                                                                。
: G: U/ |( g+ `: c( Q  M' p- ~
4 S& [+ ?" r8 a* r* v; k0 o% S- R) `仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
1 n6 W' m: j& n0 ^3 }3 ?



4 _- ^9 x2 x2 C6 m/ t

9 c2 h) E1 s# ]* G, T( Z" K

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
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现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

3 |* r1 s4 z: r: f" V) o; g; S
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
  g* }( O5 L2 G+ Z) W此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
% y- L- {& o! E( D6 o& Z
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
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) h( O% V% t9 V5 F现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


! D; Y* a4 _! u# O# F9 L4 [1 O情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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' Z' D, Y6 L0 `0 r) X$ L
4 u- u# j' Q( U2 G" i( d1 m


这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

/ L" j$ j# ^) L  h- U. g




这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
9 N+ A$ y- Z5 F: G4 j利用p+q=1，上组方程式可改写为
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+ F, w6 [' z/ @9 Q, N' P
& k/ H' q' |% @0 G! ?! U
- M+ r9 T% {3 ~: p! k1 N  F
5 J$ ~5 O1 _2 W* V两边相加，并利用 、，得

" K  z! S- i* m  g

! p7 s% a& K7 C/ h5 Y8 K- P) ~) g3 ?

& F: \: C1 N/ e# P2 k6 L
若取前 c 项相加，则得
# q/ N( _& g$ A0 g





情况三：  
- z- c0 _! x  _仿二之解法，可求得
+ Z: h# |8 t4 z) L5 m4 V. t/ ]
7 k, y- u7 j% B3 Q2 P6 f/ s
6 Y! [2 V4 ~8 g1 a

4 A; j5 W$ B5 J) j5 Q6 _% p
+ G2 a! n6 Q# Z$ |

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
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首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
/ z, ^1 O! I" Q' A& P* T- O- H3 ?

1 N# X( x8 V0 \9 E7 G# _' L" I% I$ q- p定理：
7 P( @3 d- A7 e设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
) j6 i' e' k2 v* O  s4 n此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

3 f: K* L) m( V5 {首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

6 H$ c6 A2 j3 }: S' m8 A至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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4 q5 ]+ d+ ?. W* t6 }" C
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# A# n3 i  [& S' e# O% {
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6 l; ?5 V& j- u0 \! o$ s1 v4 B
其中  为所下注之金额。利用
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& h7 C1 B$ Z1 ]

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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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5 h: |! j& M9 G& c8 S; E




+ L" }) [  Y- k, a8 a因此可得在情况二， 时，



7 K$ k4 x2 W+ @5 H$ i
2 B5 P3 W7 M3 l0 k0 y( x- ?4 B
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而在情况三， 时，
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9 P& Z& I0 E; V2 g2 W
% J) N: R. {. `9 F* S; ]但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

# J7 S6 v: l  V- V  ^1 U5 p; f至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录

) ?" R- t! e. ]8 y$ f
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为





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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！