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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
. W5 I$ V& q& O$ K7 d! U1 A& q6 f! e k$ |1 [$ P8 f, ?
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡; b" k+ Z" C$ f N: I, U. @8 V2 v
3 C4 R, E: s6 q0 |4 G8 K1 ~: z7 o! t
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的3 h: y9 N( `$ a3 k0 P
" S( T, ]' n: u, D* f7 f
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,# H4 x1 {. `( O: K+ u
) C( X7 d& _: ~9 H. ?
就算打赌,也要精“打”细算。
- j7 W) l' Q1 r7 B1 ^/ o e' v- c; r ~8 r1 H/ y H ?" ^
完美的DB' c8 ?7 |( M2 C8 j/ J- X
; e' T! [+ F: s9 J( N. \) g- m* r1 {/ H- R- U; \4 v7 t! l
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。
4 M2 M7 K# `: k8 _( D8 e) Y
6 Q0 w# v3 @8 {* R+ H/ R粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概+ J! E0 N" B) S& E, F* t
. [3 k9 p" \% [2 u5 {, v
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我/ Q3 ]% d, X( @1 M3 H; t
# e O6 x* v9 @; i: M们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!* T- U/ G. s1 f+ N
/ z9 X; K- ?: R方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,( l, Z/ M; d& N' a# {
0 b' b% v+ g6 H( P% o% ]6 x只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为* s( G9 r w0 _* e1 S$ u
Y$ c A' j+ ?
正,就会跟我们打赌:
5 h+ B- J- P1 ~8 V; r M% w) i a" q: r, [+ J6 Z& E
p * x - ( 1-p ) * y > 06 J/ [6 G; O% G. w% g( z( @! i
q * x - ( 1-q ) * y > 0
) a& H, @% P, D. L加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就- W6 E+ C/ P8 i- B
: d- |4 `, \) j- w( s7 F是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
$ n' _) g% v8 W% C" I' V" D/ U6 k- i% N5 U* G* n- m( U W0 W7 p
5 ^) \/ f# ]7 B3 w5 I8 S
1 p; N/ K. b/ J) Q4 N看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
6 r0 a9 D# I" h4 E5 u& t( e4 m, b* w( m5 H/ X
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又8 ^( s( P* E) D) {
$ C9 s0 C8 Z. r3 g4 E是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?* n& S, _8 V! u$ `5 G9 {& ]
( J. y4 y/ k% o+ Q3 S
6 d t. x: [% z* o) K
三张卡片的骗局( q0 X" |9 P6 ]+ C+ N7 L
( f4 R1 Q$ D x' U4 R: z
4 ~2 p6 ^8 L: X这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是6 D8 E. Y6 R7 o
1 e" O. w8 L6 n, k红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
8 q: p3 ^2 `, ~; _. R0 H' s- B9 y! X9 N; u
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面8 a$ v/ E* S/ ~7 P' e' N
: R* [6 X1 S4 j# u$ C+ |* i' {
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
4 c. t/ M0 d7 A8 K7 q, T J& b) m; Q
事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不- U. E9 X# H- E* D
0 q" Q' D4 H+ k V7 B是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:4 ?& A$ G% S1 w1 z( U- R7 k1 K
# ~7 e0 G$ ? ?9 W' O
% F* ?6 C7 t+ M0 r, ]1 p3 Z
- @7 `# N/ X% j5 M- W
- g' u) F# ?4 K! N5 Q$ J# W4 g7 n7 h
# j" G) u: Z2 X/ Q+ l2 F当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色6 G. {9 ]; R" V$ g* b; z! m: t
! ~' U" _- v I- P! }" e' o
的情形占了2/3。5 Y* Q4 e: |. y! l
$ _1 L' Z6 `: M' d. j, `这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这
& s9 e% J5 s v" R1 ]8 I5 K
& P0 R( m; ^$ A* A个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国
3 K+ e( {& b1 e- x- S, u( o8 d
: p6 I+ v. H" z4 ?0 I数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)
, ]6 f9 P4 J" s% j9 H4 E3 a3 b+ J
称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。
+ V. o9 j! V5 D4 o- N8 U4 O2 i! b! i2 U h) m/ A
如此不平凡的黑桃A
. K' e/ |% X5 t: S5 c i4 M5 M8 a. Y* [6 U6 { b
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
! E1 |4 o9 J) J: w8 N/ M4 i# ?/ p0 d) f+ v4 I) X
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
g- E! R" x* R P0 l- J
2 e4 r& |6 Y/ L3 S还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,& ^: t4 X7 |5 A& b% ^
3 N# x" g3 R' u# G$ e$ R当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我5 U! C3 b y" D! B; u
+ U" l o/ m0 P) u4 o7 k
还有没有更多的A?”
. P, L5 L& ], }
8 ^# j& Y$ v0 B8 P. W' h很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人4 c% _3 Z7 \- K7 c: c$ ?2 s( w" c
# `) ?: \ ^# Z2 W- }: `不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
4 o: b/ B3 Q1 v$ j9 P N8 ^ Y5 \( A$ v: C. N) o
没有A的情形:C(48,13)
0 a8 V* S6 t* c' N/ d4 y7 d
7 `- f+ i9 A! S) m3 f+ m- o4 f至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)& _9 G3 Q. Y: _8 f
0 I0 h! I! \4 I3 m
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
) Y( X' K4 L! D( ~3 ^1 _. c& A8 h+ R6 s
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
) k% N1 E$ N$ i1 ^$ o# T* n) v; n, S9 R) ^$ f1 v, d) T
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
& N+ l4 ~; O2 [; W9 i1 z' K z" {; I8 c3 P' D
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/: W, n* F/ ~8 e6 E* W- |
(C(52,13)-C(48,13))≈37%: v# H0 ~, W' B& w0 H0 E
2 L, Z# L6 h; S" O5 }
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
8 R9 s3 s! v' |打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,1 N' [; N( P9 r% D
% U/ @4 U& S# \ u2 r
接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:! B5 |& _- W8 W# T3 d
- y7 Y: o8 P% ~7 F0 R有黑桃A的情形:C(51,12)( g# e8 M; Z6 @/ x) @
( o+ k3 c+ `+ o8 `& F, {
没有其它A的情形:C(48,12)! j- T: U$ O' N" m4 t& R
`8 g5 R- K% g J" b, g
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
- E/ j/ e& U4 M4 I; R2 F; N# y7 [5 B5 Z" z# T
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
* h7 z# a4 c8 i8 P1 g3 A3 @$ C( M/ h! w
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。
0 H* Y9 t2 q% W$ p/ I* A
- j' i6 o8 p5 I9 q0 I' f掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议5 }: F/ H; y5 v$ O, H5 W
% r& B) N, x4 _! T- Y( y9 Y在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道. H m9 `. |. \
) D; e6 @4 X2 b) H4 ~7 F9 C! C3 C* U
你是传说中的死理性派!
' g4 d1 }5 U5 k. S. Z' {7 D, d# ~7 {1 L. {- e
+ ~8 p! o$ ~7 Y2 u
& ` h- v! x$ ], q7 @' B5 E3 Y9 r! ]: X2 h6 s: A
( B' r2 `" N. e
1 {7 J, ^+ v$ |. @! L: o, J# d5 p, \& F3 z( l; E
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