随机赛程的最佳策略

引言
/ s6 E# z, Q8 {6 ]; S  V
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

$ }* w" o7 T2 k3 z6 a( }+ q. T
9 y5 f# Z( N3 y  B( A" p; F) }8 `有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

+ b8 S' {& I& A5 r1 F  Y! N当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

3 ~, s4 Z; m& n4 q本文
* ]5 `, ?0 M  F: [! e

7 s  `( P6 f% P& ^( o问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
; A, D- n( p+ ~2 [1 ?# y, E4 m8 V
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
# d5 p5 O. |* n2 Y

! Q# @/ O$ k* j2 z1 k/ z. K方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
$ H$ I; ?' z: ^. Z方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
9 v7 ?( {  m; ~# y* @你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

: r$ u5 M# `0 Q" u0 f: |% V首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
- U# g" A+ s: u' X
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
( t& M4 ?3 D& K# q在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

1 U6 G# R" x% v; z
4 B+ p& ]& s& z% S+ l7 m& t; z: N

$ c3 t4 I. ^  i
- ~9 V4 a' E& }' W8 k$ j0 a7 Z
/ u, D" w! a" P9 G+ M
; ~+ ^  x$ z) ?% N% w

) m8 i: Z! L/ H; k" @
7 k9 E6 z4 S: `4 h$ l现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
- ~( _3 ~. h5 C* B+ }* k1 u" D1 y
++,+-+,
! K% ?. ~+ N$ n8 h: B-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
( X& K4 q. W2 o1 S; r4 S                                 
, ,
                                                                                。

( J4 W2 T: x4 t2 O$ s5 i仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
1 m7 i  I- m9 k6 N' x
8 |6 `- [3 X# m8 h1 o' L: ^






最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

" w7 B5 ^6 @( F6 ?0 F+ s) ^; U现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
7 d7 J: E0 B6 S: p  k
6 r6 L& E, i* v( t: L7 B" o这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
9 S4 o- H, ?; J2 s# P9 q7 j
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
. v2 K0 b% b$ Q4 s" R2 P& n
$ k6 W. U: u! n5 R
" ~: O7 C6 L7 H% H4 l' n; n* r情况一：  
. A: B; W! U. ]$ u3 o. {. M4 z# f此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

3 K9 H  ]+ o3 V1 S- r情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
$ L( J# t, D- ?* A3 k3 U6 \此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
0 |3 c$ T9 `" V2 i% C
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
9 C) }1 f3 @8 v  y$ M  c
& w4 ?8 E4 \4 X! B9 d# a由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

# C$ i/ l& Q! U如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
; j6 h2 H( E. `
$ i: g9 z* F9 ]
情况一：  
" r: |* w3 i8 D. A8 N1 b$ V/ {假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

" p* u* t6 v2 m
! o, H) e) \+ u2 m
5 l8 `& C2 T- P, a8 |4 @0 ?


. z9 [# v  R) o+ Y5 E. J% g这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
* B% }  x" a0 p8 @, ~6 y
$ h; @; U0 J) |) O( @1 W' t+ y情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
9 h: i; i* t8 `5 E
, v7 c' @$ h9 i, E& }6 r9 `

* @( `7 D! O, h4 A+ H0 z& `


2 N, {  C; t+ T8 \这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ D" i% m8 h- ?! [2 x利用p+q=1，上组方程式可改写为



% m& \: x- v! L" W

# D9 A1 ~+ h- i& [7 F8 Z
, o- v+ I, X8 b4 _/ d两边相加，并利用 、，得


2 g1 ?5 X  t; j" i
( j% ?) Y) W! y


若取前 c 项相加，则得
: E9 L; N' o$ d) p' s' D/ b

* z+ n% Y+ d. K3 z. j

2 G+ D; G4 d, f
( j. f( h' K  h5 m6 N
8 O! c) n# W0 X7 o情况三：  
' A) V1 z/ J7 n4 E' a8 l9 B仿二之解法，可求得
8 R4 ?( U. @" m



" g: D! q" p6 R  R; h: L


! v0 O9 p& ~; `6 l$ |  ?7 S& l( y保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
0 o6 e6 P7 S8 g7 t# G
5 a" Z) f( ]# `  |4 y/ d首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

+ s" d6 L7 g/ B3 \
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
; P" M* {  H: t- p此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
, a: R4 }% e. U' E
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
: c7 b. G! L& K- ^  Q) v* J' t- X/ B# h
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

* i: G% ~% X1 J6 L# V. r- S至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
% k% o# D6 N5 v0 |





1 q0 d! |9 M  `+ W+ ^. w% F1 h5 f

其中  为所下注之金额。利用

% Y7 ^6 h: B6 o0 S+ q, A. N2 C
) `7 z1 h. u5 ?2 G, W

1 g: N  s+ H+ r/ z) x) m) Y0 R. z

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9 Z5 {4 K! }5 ?' |- w! p3 |$ s
( p/ b. I0 E; V可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
  x9 U5 a2 a) O! F) E5 Y/ S  H

1 T" w; t& Q+ i* z2 N7 W/ z
1 g% z' l6 _$ v( |; ]& J
1 }! l& v0 I& a

* t9 _5 v" ]! \" d' v3 d* O

因此可得在情况二， 时，
- P$ Q( k" f  j5 ?- I) M3 Q
& g; R" g" H% K( s" K' F; U$ K9 q
* R; J- X; P% w) C


( ?+ x% {" J7 J( ]& ?$ i  W) P! ]+ j3 J1 f


8 T3 v# g7 N6 v8 M而在情况三， 时，


( _  `6 t8 A% w$ H5 h: u, \: W

% ]: C7 V% U& B2 m. m) Q



' Z& K5 ~* D! Z但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

. p3 g- I; {0 B) W) d至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
# \. i# j( V% |
0 W5 P4 d$ ]- u& r% t0 Z  s
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

7 n. q: m0 G1 t1 H/ n2 G
" x9 z! Q2 j: n, Y( l( \
" w& c% b( {+ M5 Q' k

( D( A: P: @1 @$ p! l/ u% H


7 x' t) F2 f- v/ Y4 F8 {) }9 O另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！