随机赛程的最佳策略

引言
2 R3 q. ~5 R9 W4 T" d1 Y; K2 Y
' s" u8 \$ m, |在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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. `4 m, K: N5 Z! {- F# ~问题

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有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文

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' u5 t% c1 j7 v8 }. F- m  y8 l* B; _问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


) n! q! S0 P7 H" V, @; x方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
9 Y7 ?) T3 Q8 G8 c0 A, Q* @8 u方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
7 t! u( C- S+ s7 e* j你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
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++,
( E' M3 Q% s# a' R* B0 M7 H+-++,-+++,
  l# i/ v6 {% F; b: b5 _0 k+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
  X0 K3 x& Y) q: z- Z1 e+ o                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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0 q% N+ M" L+ C( k* r

" |% v9 S6 X. [) o
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) p; B; `2 X" o$ h现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
, M, y% b7 a1 z) I! Q7 ]0 U# {  V-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
1 j% V, L  a" `* o  s6 x7 k                                 
, ,
( K4 n0 G( @/ o! m0 i. y; m                                                                                。

/ J. b: ~, P4 F仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


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& z& W" _5 Z9 d" a0 [; ?8 s  A
8 w% X$ Q  }5 x
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
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现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


$ a' v; [- l, C4 p情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
1 p6 @) h% f! T% j
" @2 X  R* @  O6 I5 I情况二：  
- x* t  a  K' |- M此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
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情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
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现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

9 j  z& a% [! O" s! t* A由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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2 q9 b2 g; W! {3 S如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
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& ]8 L6 x3 r8 h4 F情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
4 R. u5 ^1 F# l0 }* `- }
0 o% E- n+ y" i. q) h, y% ?



$ }0 \, b$ N/ E9 T
/ f9 i; P  `1 ]9 j; Z" {, `这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
" R, H' h! b; {# i
- S( j! S4 y9 n情况二：  
, \) |! U+ n5 P+ o令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

% c: C; V% f+ l% L
' p$ N  {, s  c. g
" `  t% t( n" ^" y


! q+ i, R) j; m& h这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
, X1 `; c. Y+ y% }- X利用p+q=1，上组方程式可改写为
3 R4 _# ]; o& S/ B1 Q


! n8 f" d' m3 I; T9 Q


两边相加，并利用 、，得
" _: Q! h4 Z5 Z6 n  c
! f& E; z. n# [* P- P( ?; |

1 N: J9 t2 K" s% m. b) W
4 @* E% C+ ~1 u

若取前 c 项相加，则得

8 q' Y, `+ Q# B; n# t
1 S9 _+ e; F8 A' I" z0 e- d


5 u# W9 B( U0 Z; o7 R1 c% T6 K# z
情况三：  
仿二之解法，可求得


' }/ L0 w7 R* ?
7 B% E: S* p! y! k! X& @1 d
1 |; \1 L$ ?: W" K6 o4 G
: Z) f+ p4 G" ?( q( O

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
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首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
( A2 `, R4 P  X! s( {3 w
$ m: n1 _! ?& q, j, j
  n9 X3 n% c7 K* J" h4 f# b定理：
  v. T* b/ i# }' H7 l# S设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
7 U& i0 f& ]& ]) ^* B) s0 ~
) g) n$ _) x0 X) r* J+ _现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
! G0 A& t! [+ ^* ^0 `4 B9 i' M
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则




0 S/ K: T5 {" v, z


7 Q$ Y$ M2 P( E$ m
3 ]+ U- h! _1 d其中  为所下注之金额。利用
* b" R2 X7 ]3 q) b0 O& Z3 j

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; e. P: F6 E& Y2 y: C! ^
7 Q0 p) f/ h: o/ ?! m% `: i
8 y+ p4 I- Y! _$ O+ N! p' Q
0 h1 q  S8 K; j2 C! x

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


3 C1 L6 t# W9 Q2 E) l
  N; a& s0 G# @. ~4 L0 F


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因此可得在情况二， 时，

! A% Z0 R% P, d2 e
/ S9 V  v$ Z( ]" t, E2 D



. s5 O: x, t/ i- Y

9 R# m; @  t7 T# a8 s# G6 E* _% }而在情况三， 时，

( `- m0 @; ?; Z0 b' Y' t! V; T
7 l4 `; o0 n! ?


$ Z! O0 |  f8 \" F9 g8 A3 z


+ F+ P  O6 T: {1 W3 M. e% X1 a; C但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

# X3 G  Y( j# M附录


( P0 ~2 _  O2 a+ q1 }在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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; ~. g+ b& W9 A) C7 W' h7 O+ t8 n" w另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！