随机赛程的最佳策略

引言

) t  Z$ ~9 o$ @! {, {在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
, L$ _. S$ ~- @+ n' c
5 \$ z) l/ V- i9 v% K问题

6 V0 `) K$ J4 c/ X: o' _$ J" S
7 {# a4 n2 s# U2 k# p有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
$ V/ t. S$ D) s, [$ Z* K
" U. |( x/ k2 n& k2 ?当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

, R1 k2 D' ~- C- D* Z3 N1 U( L本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

# `; H6 A$ H2 x& j7 p6 @8 q为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
1 n' O2 O4 q1 `' F9 Z
/ Z+ M% a( e" J3 f- y
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
  X; g) s6 y. t方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

" u. M" }2 A1 M- a4 O% {8 Z( T1 l* C4 x首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
1 B/ L1 U1 P# v. _7 T% y7 @5 ~6 D" g& u+-++,-+++,
. O  s/ W$ D' C! k. }, t# z1 \' A+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

2 z0 Z' b) s5 O1 x& E6 t" ?! R

3 p0 y( n5 v4 k& W


% {& X4 o% H8 P4 M: l) z
- X0 l( P& ^, m4 Z% }3 R


现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
$ K+ s: `; P4 N1 V2 @% ^) \
++,+-+,
0 |3 y& x, [1 q( t, l8 x6 n. ^-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
2 ?% t3 g& s( n-+-+++,-+-++-+,
& v; J2 N6 G9 _+ a7 g2 m$ S; F                                 
, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
( F' P) _" a- x( i5 Q" h

9 w9 O; K  v) q. k" A$ V1 k7 L) A
! b5 I2 U: P, ~5 A% k
: o9 d; G1 c( a7 N0 I4 j
$ f  T2 q+ n* B

7 H& D& S) l. R$ N% ?: {' B% a
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
, s: z! |( G; k8 W) p1 b& m: u
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
" o5 B/ v+ l3 R* \5 g' [
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

! T) v4 N' I! w2 P2 G7 [# B现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


% C  v6 X' ~8 I情况一：  
/ S; U" w3 T5 o8 l* t此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

' |3 @7 a( i7 d3 G+ s) q情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
5 l7 F% m8 W- q3 G" B# ]6 H! t
) i, J; g$ `9 _. m3 I) ]现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
/ J  X8 A3 \  L+ T
' c9 u' ]3 E6 x& c2 W! G; u5 z如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
8 }4 M2 |3 G3 v8 d, \# p7 K
9 j% \2 N# I! r
8 N) ?- ^' [+ P: B情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
9 G+ z' i0 N0 g  U( c


7 c) {' D; B5 n6 Q6 a
. [" x1 |5 {1 n) |

& t; y- N7 I- t, s这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
, r, A7 {0 w3 g: Z: }3 B
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

: e( x+ t5 P4 K' W* r' p
  w5 I2 n' Y/ R8 i( }

/ C7 V% {* Y) E! a# c

* ^2 L) _) i4 u- S1 F  ^这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
* f  t' U0 I; y3 D) \利用p+q=1，上组方程式可改写为

' m& q. T0 `0 M( g0 x
- m# @' q1 c- e

' {! v! L: l3 O' y& q
/ ]( P, S) l2 [. w1 r
( ~0 f: [; E0 J: {& w两边相加，并利用 、，得
5 X$ s" m8 e1 C+ z+ o( ^, p) U
: G" \# T8 H9 b" O3 }

5 `6 _# v1 d% v- c
; r" P, }' Y7 k& ^6 j

若取前 c 项相加，则得


8 G" R1 O( w, w
4 C; s' p0 F- R; w& c( q
  b' R2 R! Z2 d  l- n* G9 A2 _

情况三：  
仿二之解法，可求得

: o7 Q3 Z0 N, n# F2 t* C+ S4 {
2 }* x4 Q) K) U+ Z# }



1 q3 M$ [( ?( H2 V
( u+ [$ v2 R; _. V0 D3 `保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
7 C: t% \5 d: R2 s/ w0 i
2 e9 s( m! l& i首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
* ]3 u/ I$ Z  t1 G7 O
  h- E9 i! y# g6 B
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
# h. v% D+ U- m. `& l此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
0 U, `* m5 I8 X$ O6 |
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
) ]' [2 ^. h; R* y" p. l/ Z# k, A. j
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
; C" H# q: b3 h! v" f$ C7 t$ y

9 O7 R# D0 f) E, X

7 u8 @; _" w) i( C

3 M4 T( J! \0 X1 p2 ~2 \9 i6 x
% e+ W; J, I' p7 d5 c
其中  为所下注之金额。利用
& R% C+ z( \2 d

2 g8 H, y! R0 W3 b# w  |4 b+ z
" [$ d- i  T6 k0 `




可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
9 `: F1 M2 M- K+ H2 x3 ?
0 h" g, ~* A: F3 ?8 n
0 B, `9 K6 |0 k. m6 _. n' c


% a( u+ T! d/ W  `, P


因此可得在情况二， 时，
6 d  y1 u; w  {. f' R! }7 r' ^. v3 z


' L2 g. t8 }4 `

% e7 @4 e, `, r4 t% }0 u1 P; X& h6 c
5 Q. ^1 u1 O: j* W% D/ e
. X0 V: ?  W1 X2 f: x$ u
7 u  k6 h2 [4 n! ^, j而在情况三， 时，



1 _  R9 z. U% e9 P6 \/ `$ s
+ i8 T" ?4 J. u* ?" F6 a. Q
& E/ ~5 k6 g" j8 j
4 N; K# K8 R; q5 u. S2 k
& k# Q* \$ i( A6 N) B: J4 R
8 X/ @2 n/ {1 T" `' j5 [但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
8 K8 B% ]" `; k. G# i
# \0 t" Z- z& Y) L+ q# P至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
" B2 }& C' Z5 G
附录


+ R5 {6 C! t7 v/ w在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
4 F: f8 _  @" p# \$ T# b
% D5 ^% n- K9 n  N% f
1 C' L6 \& i5 m5 P3 y
8 g# a- @0 x8 P8 o

  q* F- U5 j% ]- r

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; A! B$ m! T9 _7 C* b2 c: w另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！