随机赛程的最佳策略

引言
/ K( x# a9 |! ^7 @+ n! L
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
% E* P* o6 o* z+ Q; g
, ~! e% J* s7 U8 d; B问题
" K( f7 R! [, V) n& f4 F

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

$ @1 x( V7 _2 C: ?2 x当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
9 I( M+ w% a! A" W" x
1 n7 Y: t) o1 |. P' ^# C本文


! j' j9 A% a: p: b问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
% h3 d/ }% d- T  H1 B7 T
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
  A# f( m9 s+ u5 v) p0 B
* s8 v+ A7 h2 G5 T6 E
6 Q2 m, K8 x; b) Y, z# n" `2 j方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
* K9 Q) u2 c' h! B
7 {  g6 k+ Z+ |( J" F: y2 }首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
! ~% A$ s2 [& x6 ~: }: O) {, {
' p- {1 ^/ A1 E2 f5 [, c# f  I++,
: `7 D  e* T* h) x. N0 Z. x+-++,-+++,
' i; l4 q- }+ |+ m+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
' B' O$ R2 b3 D* I5 \7 v6 O0 k                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


- ~' {& Q" }) }1 S9 ?

3 z: j& a, X3 m3 H2 S5 ^+ G1 C
& ~6 x4 R* O3 t


/ O' x5 A7 D$ V# g- o  i' C+ |

7 V+ g. t; B, s; u: ]现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
) r/ t+ _/ U/ {4 h% {  e0 I
# G  q- T% H8 _++,+-+,
  [  {% g4 @  v-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
; q- r- W( E+ h, d+ g-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
' t7 r# l  B& g# b1 A                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
6 O" c- G2 M& ?8 T0 H/ X, x  P% _6 w

$ W7 ^4 ?3 G; V* B

! J: Z& V% @$ s4 J. j9 O



最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

6 g* c# o9 P. a& u! G' u# }" ^2 E现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


- m  t1 o) ~+ g+ f6 n: p情况一：  
- H& y0 x8 {# h3 ?2 j此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
: G  v' T6 V3 u0 [/ g6 r! X
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

# m% ^$ g! S/ m$ ^0 Y  m由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

+ c8 M3 f4 c: \; ?如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

, v. j9 f$ e, C0 d- {
情况一：  
4 \% {( F* w: T7 [' I2 n. `+ ]# r假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

0 h. ^7 w9 q7 P$ M/ `9 V/ w' o

5 D( I$ ~( A* z# ^" I# j

. ]# i  W# O7 B% T
6 d  |' Y/ F0 \9 ]( Q/ C这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
  Z  L8 ?6 M3 s; F! u" K1 |
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
  S" u% y$ r( D5 K

# M; H5 D$ X2 C; [. P% x: K
; ?' Q3 M, @4 G/ ]6 R+ m, L# V
4 x) d0 U' w  r5 {* E

6 t$ x* t; M% b6 z7 ?这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
: h1 t" u7 B: P6 v利用p+q=1，上组方程式可改写为


* h1 P7 I. c# p4 H2 U5 c
6 Z& D3 M6 z- {1 h! v, @/ j: L
0 C. J- a$ ?/ ^& ~
0 E! y2 h- I& `3 A) D& V( }, [/ e/ {
% N' g6 f& E, g. W! d两边相加，并利用 、，得
( i( q; ?! c( |/ J
, i$ ]5 t" [  P% o8 P, D
% p9 v5 A$ K$ `
$ y* ]1 v# b- ^9 }' b  [


( C9 ~; W3 w% T! `0 R若取前 c 项相加，则得

: |: o+ d; b& [

, H2 C: i8 S( e: X% C

' [- h1 Q& ^( ^. V0 ]* G
情况三：  
+ k8 R# ^& G; Q) |  p仿二之解法，可求得
3 Y) G1 J* w6 E2 S2 U, z% U, d* v
6 W6 W' P' p% _+ V% x( \


" I! s  `/ o  T6 n

8 j8 c' v) E/ s6 q
1 \, r% |9 i3 Q. d% b2 I$ g9 h保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
) a! g- {+ E$ M4 W7 E' l/ O7 ^
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

8 W, |5 s0 J3 G8 q1 x, X5 s
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
' Q3 r$ D  f1 H5 z此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
6 s) M; o) b4 T3 i' h/ Q
0 l8 X% a6 D0 c现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
+ z: J$ x- K5 _! U+ Y1 I4 E# _: }9 E
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
" n/ [) h+ m& L- w' \  o' h3 U
2 q* c) r- T4 m8 K$ r至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
) M. ?0 D' d& f) H5 {. l6 R& m3 M
  H" M: Q4 g8 `: j" @



! j& I2 X% e2 o9 R. `" q
$ G* S" }! k, U# K% R6 P8 S% i1 g
" p3 ?; T) I/ _9 g# m9 d$ V0 x! |
/ j% @$ v) I5 `% o其中  为所下注之金额。利用


7 \+ g7 \: s, p6 I& y, ~





8 K9 E6 m4 r4 J- j# |可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
1 M% F& m, q3 v" V& d+ P' C

# k8 k! j! C3 O; C& f; q; B' i

2 p- ]3 d: |  D



因此可得在情况二， 时，
, g9 d1 @. k3 @4 }5 `; A
% m) I- @0 Y- k7 X8 ?! u" k


, F7 z! u/ h2 |7 S7 @9 P( g' ]
0 X$ {2 Y. l* w" J9 I& F& C

* m" }7 c2 q! m, B
( T: \3 [" h9 F而在情况三， 时，
6 ~# s1 [, L: C$ r5 y
4 m2 @( f* a- c; B$ B1 J$ R
3 g: N3 [8 {+ j. Q* J% t3 W$ \



- i% E9 ~& Z  @, A8 J2 ~, g3 L" T/ p5 r
" Y* l. i! c$ q" ~
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
- L7 `; h! O% w6 V) W. n" g/ [- G
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
4 ~, u2 ^/ [" H, S# R" r

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


, w+ x+ T, X" O
( f0 R+ U4 b) ?1 x: {& p/ p% n

) Q; w$ `0 ^" B5 y5 A
% \2 |+ P! x* g$ n$ Q$ i  M. r
4 a7 j7 D6 P: G5 |0 @' h
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！