随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
6 O' B, Y9 S7 Y% [, b# t+ O% n
3 U. I$ G; |1 A+ a, T0 X0 _( m问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
( u& G' b, V7 J& n
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文

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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
% C# q; I. [  t
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
, f4 x; I0 C; G6 L

! x* |5 p/ f/ E: u方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
+ d" ]8 c/ N8 T: d方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
9 @% W6 R0 w: n( P  B. Y/ G方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
  Q: a4 l( H2 n: o/ d1 N+ u  `6 l你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

$ T7 N* \- X% c* S首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
: t; |& a- g4 @9 h1 E  u- s# D- T+-++,-+++,
! ~0 n* H) J& H3 r+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
. f( P( Y2 C: o5 D+ i在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



" L3 _  g& z7 ]1 G

( o) U9 q  O3 J# h* g2 a

4 ]' |( ]# G3 \* h9 n


现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
* R$ {% `+ |; y$ R+ B3 e
++,+-+,
; U& q5 y) q+ f' ~( s-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
" }& ^: w" G! F  P, ,
9 b) b) x& b7 V# z0 }) t, k0 [8 i% T4 ^: J                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
6 `. F2 a5 S  s& w' D# H
! O0 |# V5 ^+ Z" D# d, v* t% t
8 C, j/ W0 T# Y& f





最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
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现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
: S$ b' W; k( k+ T. U
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
( p5 y- i# K% m" S+ Y" b" t6 _: G此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
1 Z6 x( t3 j2 Q
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
4 N: |8 F1 @+ |8 `! c6 t6 ]# F, w! b
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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9 s, n3 C9 D! B% d3 Y由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
1 I# w. D5 b' W, c8 W: e
' H5 A0 t( i( O6 B% ?9 c如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


4 P) w  `# s4 R) a3 W' s" A情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


6 n$ v8 A+ ^- w1 c
5 E" G  g& s# a) }
4 M  b% X1 G, d9 s2 v2 U% a. X

: M7 C+ [& K7 G7 u& i这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 x' Z2 r  Y2 {( e' I" q
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
" p' _$ M  ~: c) S) k0 ^7 G! Q! h





7 M0 a8 y4 @6 v3 w* `1 ?这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

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3 ]: G  c6 R) o5 G1 v
. k% _6 k# d. N- a9 M: r
' |! ^6 {6 [; J* c$ I8 n1 o) {
$ M3 d* }0 y7 U' y4 ~8 e/ f9 O
两边相加，并利用 、，得

! h$ L9 @; t+ d7 Y9 @! u+ o- O
# `! ^' ~! m. i; N9 L5 F
& _9 B9 L0 A* k$ X+ W1 T

9 E1 |8 O4 L! K# b. B
若取前 c 项相加，则得

1 M5 Y6 e4 s% z! O
. l. I. I( i; C) y. O
6 `1 a2 r  E1 Q2 }4 o$ K& T* N
+ Q0 P, v( ^9 f1 e
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2 N% I' [+ `5 A) B' ~情况三：  
仿二之解法，可求得
) Z+ j9 |; N$ N- |* S


8 V8 B/ V" B, l; d1 w1 ?
+ V: ?& f1 x' \1 j5 S

8 b& C1 q/ Y- V$ b, Y
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
9 T1 q$ d1 i$ I& S( ?
8 w1 z7 c. U2 X) }首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
( ^  b4 x5 y3 U" F! }- m; F此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

: D  \' D6 i- u3 s. x4 N7 N8 q3 L首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
3 [" s  e+ ]1 o" ~4 S( |; c
0 W7 T+ j$ L/ F; s至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则



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) w! ~: q: r2 t8 q$ G9 S3 {
/ N5 Z1 l0 j5 h; V' l

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其中  为所下注之金额。利用


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5 N# M5 O. ~" t2 N
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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
6 G. Q" T% o4 r1 c% h, M. T
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因此可得在情况二， 时，
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/ w9 p0 }! v4 I* e" e7 N
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而在情况三， 时，
  X! q' K- p0 g3 u; ^  n5 B
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8 v" v! I) x! r% ?4 {5 W
  B  v6 T$ n4 i但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

" E& G- w, K1 y& V1 k: t8 Q2 \至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
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+ G2 W2 v- \; v, V' {" H4 P0 @在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
) V2 `+ E* b8 S1 l7 B$ p! z5 R

/ j& C- c4 T0 J% n+ j6 I

  u1 e( B( u& i! G+ }/ X1 U


3 b' l5 ?: B0 n$ v! k5 A( J
2 C. R4 r8 w3 o/ A* q1 ~4 R  l另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！