随机赛程的最佳策略

引言

& R7 x$ l( H" X* E8 S' p在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

1 X2 Y" y/ q/ L# T+ j问题
- S; A- F9 s7 Z3 H. q+ d

0 T* g6 e( _8 k5 K) Z有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

1 @& h6 c+ E0 `# Z3 j: V9 @当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文


6 M( v, w0 V& @  p/ b问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

9 N, `, p7 m2 ]) T6 M为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
) I: E' R* ^. c$ t% U. e1 J

  [( `% J6 ~' o% g  @6 i! o4 A方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
4 ~1 ~3 l6 f% r. V9 U8 j. X, T方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
* f: H1 x" n! r# E
- Z* h  w9 }* C$ [& W) U首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
' n1 z/ G7 I, P3 `* e' y" L
++,
; `  d- p, ]0 g7 P1 x/ J+-++,-+++,
, z! j8 g% T: \- g* y; p+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为



) O9 _5 v+ `4 p" m2 `# K- U5 m
, f' M( p' D4 j* P
& a$ Q8 o9 {3 O& `6 d/ i# \* a6 B4 ]
  q5 b, v% L/ O1 k
, f# `1 i5 s# D  \# i* b0 |! z


现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
7 q4 L  S. O+ y2 M( L# J) k4 s- y-+-+++,-+-++-+,
* y& B* A# t. J+ o6 y4 \                                 
8 b2 j4 F& E* p, d5 _3 f, y, ,
                                                                                。
4 i7 U5 V  ^3 W# @  p1 O4 E
2 d0 M2 `( b- r  C' w/ }- v$ o- ?仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
* z: i9 X, k8 P4 b* s
6 t$ a7 n, |. {
# n* e% f5 \: L/ n) D$ {
7 V/ u) M; V0 y1 U" Q
* i: V; S! j3 C& D
7 e; z" A; [3 W6 ]" s
& t  h1 O' k( L9 i0 ]6 Z4 R+ C! c5 G
" F1 c3 m' n3 C, q* p
) ?) P. P; M( N/ b) ~. O最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

' s( d; W2 i+ o/ d9 `) _( @3 k现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

' s9 R9 E1 F! G5 {
" ?% O* Q" `" y情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
0 k6 n4 o" c4 T3 S( |/ w8 _
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
1 U* Y9 Q( O% F) a7 F' t' w
5 w5 v" T' L* C# X由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
1 I% e& t' m. y
6 V7 S  t4 }' \+ k9 l如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
2 C0 {! e& Q! N$ K/ z- n- b
8 L+ I# c1 M: c6 J5 k
0 ?; {! B  _! S/ s+ V情况一：  
- o. d4 s( {* E- e假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
2 `, J7 t* E6 M
- ^" r$ `$ q0 |- Y
+ R8 S& V4 v; z7 ]

9 Y+ n# _/ S" d- p' }" W" `

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
( M) L  M2 r; }
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

) X. Z. r, g# n1 j( V, b+ ?' m1 C
" p, ~" z9 S& a



这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
+ u7 b" e0 N0 J




% b0 d! h( t7 ?: @7 Q; Q
两边相加，并利用 、，得


& A# h8 ?8 B. f) T- U: x

+ d/ ]+ f5 Y% W6 X7 a+ i

) N; ?$ L, U) g( [若取前 c 项相加，则得






  U- s7 d3 l4 q0 c/ n情况三：  
仿二之解法，可求得



+ B; t5 P/ V% ^5 F0 x" c5 ^: z( ?


# T9 i1 [3 Y! j$ Y6 ^/ R
% K; ~/ x0 o) _1 ?; ]保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


' @2 p: V) F) z/ T5 s; @/ ?2 [% X定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

7 `' t, [0 s7 x5 \! p. d- O2 @2 n  c现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
5 _8 y% A. I# T
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
7 Y* i) w* k7 }/ }! f
1 n  @2 v$ r$ ~* Y' o' f5 S7 o至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


& e$ k; k2 d3 G* d; {  X2 h
$ {; z3 ~/ R" N6 _1 k# W
1 k9 H( @: e( I! Y; S

# T& ~1 g( t+ `+ T# r' S0 Q
& M: G2 G+ `3 a( f
其中  为所下注之金额。利用
/ x- `! ^: l4 E


7 ~; X3 m, {3 D, N( d
0 P$ M+ s5 g5 l. k


" X7 y& K( N( v5 A8 {/ x9 L
8 m7 |) P: G; @9 }3 t$ C可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
+ v8 u$ x; i, B% \8 p

) P% V$ D' i4 O% h! y

; C) E. X8 `: Q& {2 N' j8 ?0 V



因此可得在情况二， 时，


' w$ o" {; `! Z0 b


6 q$ D& U# ^5 T+ Z& o  ~/ \8 D


# y3 S9 L5 ~1 S8 Q0 t; [而在情况三， 时，


/ G! J3 W0 k( V. ^- x




' J' L; ~* K2 u, s
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
, _2 m2 u4 {: E/ M: ]% r/ w% Y
4 J# ]% F  ]1 f5 ]至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
0 B' c- i; B2 [2 ~/ c' ^5 ?+ ~
$ E* w) Z1 N9 B) Z' I; O3 ]附录

0 @5 N" F5 s( d7 J
+ t0 c) b7 t3 k3 k( C  V在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


4 Z8 u  j# E' e# w0 ~$ [
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% l" s. o: M' V4 u' V" [2 _0 m+ o

) \: x& B, i1 t# p* l' B! R

% k+ U3 Z$ S. K4 v, i+ x: I另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。