随机赛程的最佳策略

引言

) m( H# W( Y# x在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
9 s! e' g, d# t. Q7 E

2 G& n; x* x$ O$ S9 n" W有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
. ~# R; p7 b  s5 V8 o
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
  R" V8 Q9 s% f4 C( [
6 y; r, @# H; h/ [; r本文
. f: |" t  l4 {, i9 n# ?

问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


( q  K( Y1 E2 X( T: p+ N; D方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
( d7 P% i/ ?& z5 g0 G方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
$ b% Q4 O+ }" O/ E你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
& O  s* X3 e+ \" q6 `  i  f5 o1 f! |
9 l* h; L) `3 t. P; H$ A; P首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
: g, C* g1 _& r( b, c
++,
) `! \* G, }/ w0 c+-++,-+++,
: L" m  B0 X) J+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


7 O  r5 a9 Q& S4 s: Y
8 S5 }' ]5 M( G# ~  E& s

, j# m/ f! Y; f" Q$ L
1 }  s( H  M; T/ w8 f
7 H  {6 \% W: \3 ~


, W# a) ~" V# ~. D8 E- `, f现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
3 d/ l  F. z7 P. T% s
9 M; r4 X/ F+ m++,+-+,
  g# R6 B/ O$ G0 b5 h) _5 d-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
" F0 W6 G9 [' r; R$ d2 G( `-+-+++,-+-++-+,
- o! f9 O9 r5 Y9 |8 `9 u                                 
, ,
                                                                                。
& A3 f; [3 B# d9 `1 ?; n4 \
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
8 F9 H7 \4 k4 Z7 G9 s2 R; i( q3 J




0 W3 Q- v! O2 J6 f


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

* v- t3 s7 s, |$ x现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
, U& o- E7 S$ U' D# t: l% j$ S
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
! o% L$ s7 ]: F  d
  T. h. i7 \7 }0 Z  t现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
1 }6 O# R- N* i; K8 F' f* K. N6 ]: E

情况一：  
$ r+ s$ ~9 M4 s/ s" w此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

& k% K' z7 s9 n6 Z3 `$ r情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
; e& K0 E( |- z- n; G- D$ e+ L
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
) v: ~" k! h& G" P
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
' \; D8 S2 B: ~) x1 t

% ~3 |9 |% S- d' Q; q- Y情况一：  
. o0 `1 T: H8 E$ e, g* ^' e假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
9 l- a4 ]. m) {- F' W, V


; f. Z3 @" v) w

) S) ~8 j) m" }
9 t% J+ O) I0 r' e这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
+ z% S$ c  [* z6 o7 B- P# h
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


+ Z) f+ s  L4 i: O
2 b7 T$ h  V/ s0 F

# h! [1 B% I& I0 d& K0 j9 k8 i
$ U0 u& q) u7 O$ }这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
; b, D& B9 ]3 d8 ^/ V利用p+q=1，上组方程式可改写为




1 J! B  w2 M. \5 c
) q+ x$ Y7 m. {& A
$ W7 m  x5 O& e两边相加，并利用 、，得
$ T( Q' @/ U! I9 ]2 U

5 A1 z8 u; z6 w1 v

. }2 d( m( U; y+ P- n# E; b/ k
1 F9 X- W* C, c4 f/ X" |9 p
若取前 c 项相加，则得



3 d" ^% k1 C1 M! l% \) i
- ~& u* `) G4 P. ~  b

情况三：  
仿二之解法，可求得
. K5 m, n9 C( ?( H* L- k
# E7 i* r' j/ \  D' J





; ?, t$ c+ f! [9 {保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
9 }+ @+ k) w8 |6 ^' y: q
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

$ o/ d/ _3 m' Z3 T
定理：
9 T  y$ }! c- [) Y0 V/ j% ^9 v设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

/ L: s# Q9 U/ N0 j3 B" E5 T首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
; `7 w% g/ Z4 D% Q" v
# ?2 h9 S0 _( ~% m3 W) L" N1 A至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
9 ^+ s6 S; _* A! G. V" }

- W0 ^/ S) k2 [& o: z. J+ Y$ }
7 `5 s7 ?/ C  X
: Z6 ]" K: f, H, l- v6 o+ O

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8 O( L& o: N4 y1 X2 ?; D* b
6 ~4 v  [; l2 A' C其中  为所下注之金额。利用
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& ^2 X% q0 c6 ?! S. |+ E
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/ P* Z/ W& b" H+ s) q
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4 D( I/ D' Z9 v: Y# m; K

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0 h* t8 V5 p; P; L可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



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) ~. }) \' F8 [9 N
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" ~& k2 d6 T" |! T( M因此可得在情况二， 时，
1 C! e0 k9 y* i2 J

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8 r/ b3 B4 D9 {而在情况三， 时，
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1 D) e) b+ J2 ~+ K; L4 h+ |
4 k* H, T' n% a5 g" G
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& r) @. v0 N* a3 y
! j2 H8 Q$ X! u4 S# r5 f& x

) }$ y# f, q. T* I6 o但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
$ E" v# G4 c8 x2 ~
6 x9 P7 `+ I; U  V至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
2 Q$ W3 F  }" u) \! l) @9 v& o
附录
. F' A* T/ t* P) X
! \% I: b. j) O0 N
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
+ c4 I4 z" a" r& g
* b$ a6 h7 N+ Z: p7 v

# N$ N8 c9 J" x
/ @3 ^! G+ O) T" {



9 d5 j( H8 \2 w' f' r) D  }另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。