随机赛程的最佳策略

引言
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2 X* _1 L. V1 Y3 X0 e( q在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
3 `9 n0 G' T1 D; f

1 {  J3 |- s6 ?3 E有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

! R1 L7 u2 _/ l# ~2 t当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
2 ]$ Z7 w5 j' F; m- L  v- R' o
本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
& o5 l) o4 K9 c$ l9 k  K. b# D
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
8 o8 G9 o4 n9 L# L6 B0 v4 C* C
/ a5 g( M. ^8 u# |" t2 w4 B2 u
' Q2 s4 y" d( x" V方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
  T; m+ u0 V6 i- c
8 q; R# N9 M9 g+ o. }  K/ H  @: }: r首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

0 z/ f; v$ U/ N: D* w7 g, F4 [++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
4 u1 n1 V; Z4 g2 q2 l2 W% j                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为





! z- N/ {: n- \" K

. U6 z: A; b/ w$ t


& C/ n/ [% D9 q& X1 E0 J& Y5 ~现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
& s7 [9 N1 ?0 i7 O* u2 {! A4 R
5 q5 {3 e# f4 R2 d$ F% [, n2 K++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
1 I- G4 h$ W. W0 h                                 
9 e, d7 A. ~, [' i* g, ,
! _) \8 b$ J# \* Q                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
7 D! |4 K5 K) c



6 u' N( \& c5 N4 B" C. K# q5 P
: `& D5 u0 M) s  ^0 s

# D! z" `" R% {+ |
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
0 ?- L# E# p2 C' _0 @
; V& p% X* O* E+ ~6 H% v& n现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

. ?, L9 n% u5 {6 C这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
$ k5 F9 d7 M4 T+ Q* f! g

8 ?8 G# H+ p8 q6 E0 ]: ?. w情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
- F, W6 N4 r' T! T5 v( r5 u; @
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
% u  J7 V1 f  i
情况三：
4 f; P7 g2 v! a" k5 T" u此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

( N! L  L" B; i0 I现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

# e/ P$ G8 v" F) |" O
情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

) t1 i% t8 `: |# {# [% ?/ s! V& B! B
# N8 H. `1 o$ U7 }" W5 q" l) t



: S4 H) d# ]/ W" T1 @+ a4 ^这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
9 d! E3 t+ R& Z1 i/ Y2 O( |& y, n
情况二：  
( Q0 v* L2 N8 D: `; @" U/ J/ C令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
" k# B1 m& f1 e" ]9 D

$ D* a! `1 ?+ @5 v! {2 I5 B- ]; s* v
: u! S' p2 Y. K


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


  u" m: F' }/ K7 e. o* c' J

# m/ Q) f2 ~6 t) g; ?

9 L0 V& ~6 \0 ~两边相加，并利用 、，得

5 v# l# Z( }1 K0 }
" g) Q/ x& a( l& W% V! h/ U* g
2 ?! e7 U( {3 t+ y3 G9 X

  N6 y" I$ h/ J7 K9 `* o
若取前 c 项相加，则得
4 N8 X! y! ~8 }, z
& z0 P5 P2 d+ ?4 a

8 f3 V$ Y2 P3 p! m; C% c+ ^
% k. Z' \  j6 d. o* c

& _0 Q# u3 ]$ Y7 d情况三：  
- N& g" N* u& B仿二之解法，可求得
# i' ~/ {' s  Y" n6 E9 x% ?( ^, c
% N& p: G9 B' S- R+ t

0 l2 [0 O% Y6 Q

& }! l, x; W! w5 x. z$ f5 Y* h
* M3 K8 ?) C9 a
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

/ w- t3 ?9 l6 x5 b首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


) s% G; D6 M& P7 b( P9 Y定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
5 T. `& x9 W' R- p
6 f! Y8 |1 j7 ?现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
6 K* ?8 i9 P$ x& l0 s7 ]
. r, i- M& r# g" P3 n( Z% c首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

, G$ F% s# r; g0 s至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
6 A! A+ O0 E9 y# a$ I1 J% y: |$ G3 l
3 U7 J) H5 F7 A

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) F# U2 q' T4 F7 x% x5 P+ r
1 J2 {4 _3 y' E# V其中  为所下注之金额。利用

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* @1 R# U) Q* G! I# r
3 W) N. r" J/ k+ q3 P! R; A

5 T5 Z$ Z  a% l  ?8 i

6 l1 t! e  j0 S* B9 G2 y可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
, D* u4 A# ~) P/ y  a; \$ c
/ k. W$ f1 m' L! N
7 d, K5 r& V+ o7 x- q' V7 b
  A2 t. S8 }5 i$ a. w

) ?5 i- z9 W( g3 h: V7 {- U1 ?+ Q
/ s. u) k2 J; m- ?3 S
4 `' a3 P$ {# e
因此可得在情况二， 时，

& {! i' ^7 e& M" N! R

) s! G* p  Q/ [! {- }( R


8 ^* p; b: @# `  V: s
/ {2 K/ J2 Q( F' X3 `6 W7 }$ b/ h
而在情况三， 时，

1 P. F1 O6 z$ Q5 R# G# {

" K# X3 B; v4 f5 Q
; z: Y3 U; k* G6 Z2 r& ~
5 Z9 K1 ?: n# R: ?) v


! u$ Z1 w! x3 z7 l- b0 n0 K8 f% R但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
9 Q, w- D: E9 k) Y6 y" a
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录

( u5 i; [4 T$ Q2 i* z" x
" o. F4 h- W, X% J; M( j在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


) }! H( N' q3 g# {" A
; c4 H4 Z: m8 ~  T
4 s! `% g( f  w2 h



; W+ L$ T  @! W4 y5 U8 }  O另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！